뉴턴의 운동 법칙.

<뉴턴의 운동법칙과 관성계>

뉴턴의 운동법칙은 1687년에 제시되어 300년을 넘는 세월동안 공학자들이 역학적인 문제를 해결하는데 함께해왔다. 물론 현재도 빼놓을 수 없는 해석적 방편으로 공학도들의 교육과정에 자리잡고 있다.

뉴턴의 3법칙 사이 연관성과 관성계(기준틀)에 대해 살펴보도록 하자.

*뉴턴의 1,2,3 법칙은 물리를 접하지 않은 사람이라도 한번쯤 들어봤을 법 하다.

-제 1법칙: 관성의 법칙.

질점은 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다.[1]

(물체에 가해진 알짜힘(합력)이 0일 때 물체의 질점의 가속도는 0이다.[1])

-제 2법칙: 가속도의 법칙.

 질점의 가속도는 그 질점에 작용하는 합력에 비례하고 방향은 합력의 방향과 같다.[2]

 

-제 3법칙: 작용, 반작용의 법칙.

 상호작용하는 물체간의 작용력과 반작용력의 크기는 같고 방향은 동일 직선상에서 반대이다.[2]

이제 이 3법칙 각각에 숨어있는 이야기와 서로간의 관계에 대해 살펴보도록 하자. 제 1법칙이 존재하는 이유는 관성계로 설명할 수 있다. 관성계를 정의하기 위해 1법칙이 필요로하기 때문이다. 관성계란 무엇일까?

*관성계(inertial system)

공간상에서 일정한 속도로 이동하거나 정지해있으며 회전하지 않는 가상의 기준좌표계를 관성계라 한다.[3] 주관성계 혹은 기본관성계(primary inertial system)는 정지해있는 관성계를 의미한다.[3]) 비관성계 혹은 가속계는 뉴턴의 법칙이 성립하지 않는, 속도가 일정하지 않거나 회전하는 기준좌표계이다.

 이제 관성계의 정의를 통해 뉴턴 운동 제 2법칙과 제 3법칙은 제 1법칙을 만족하고 있는 관성계에서 성립한다는 것을 알게되었다. 이제 각 법칙간의 관련성을 살펴보자. 

*뉴턴 운동 제 1법칙과 제 2법칙간의 관련성.

 제 2법칙으로 인해 어떠한 질점에 작용하는 합력의 크기가 0이면 가속도의 크기도 0이고 따라서 그 질점은 일정한 속도로 머물러 있으며 그 크기는 0일 수도 아닐수도 있다는 것을 알 수 있다. (이때 가속도의 크기가 0이면 그러한 질점은 정적 평형 상태에 있다고 한다.) 

 1법칙과 2법칙간의 관련성은 위에서 등장한 관성계로도 살펴볼 수 있다. 2법칙의 지배방정식인 F=ma (F와 a 모두 벡터 값임에 유의. 아래에 등장하는 굵게 쓰인 영문 모두 벡터 값)가 성립하기 위해서는 F라는 힘을 받는 질점이 관성계에서 관측되어야하기 때문이다. 이에 관하여 조금 더 살펴보자.

 2법칙인 가속도의 법칙을 설명하기 위해 한 가지 실험을 가정해 볼 것이다. 먼저 이 실험이 힘과 가속도를 정확히 측정할 수 있는 이상적인 환경에서 행해졌다고 가정한다. 또한 하나의 질점이 관성계에서 단일 힘 F를 받고 있는 상황임을 가정한다. 이때 가속도 a를 측정하고 다시 동일한 질점에 다른 힘 F'를 작용시켜 이때의 가속도 a'를 측정한다. 실험을 여러번 반복 수행하면 힘과 가속도의 비가 일정함을 알 수 있다.

즉 F/a = F'/a' = ... = C (C라는 상수값으로 일정) 가 된다. C라는 값을 어떻게 정의할 수 있을까? 우리는 이를 변하지 않는 질점의 성질, 속도의 변화에 저항하는 질점의 관성으로 생각할 수 있다. 관성이 커지면 커질수록 속도의 변화율은 낮아지게 될 것이다. 이러한 이상적인 실험으로부터 힘의 방향과 가속도의 방향이 일치한다는 또 다른 결론을 이용하여 좀 더 일반적인 식(벡터에 관한 식) F = Ca 로 나타낼 수 있다.  

우리는 변하지 않는 관성값 C를 질량 m으로 부르고 있다. 주의하여야 할 점은 위의 문단에서 다룬 내용이 엄밀하게는 틀렸다는 사실이다. 질점의 질량은 질점이 거동하는 속도에 따라 바뀌는데 특히 질점이 빛의 속도에 가깝게 거동하기 시작하면 질량이 유의미하게 변하기 때문이다. 그러나 일상생활의 문제를 다룰 때 그 물체가 빛의 속도거나 빛의 속도에 가까워지는 일은 발생하지 않는다. 따라서 질량을 변하지 않는 상수라 생각하여도 무방하다.

아직 끝난 것이 아니다. 한 가지 더 주의해야 할 점이 남아있다. 우리는 오랜 세월 과학자들이 F=ma 라는 식을 증명하기 위하여 실제로 온갖 실험을 진행하여 온 무대가 어디인지를 생각해 보아야한다. 즉 아래와 같은 의문점을 해결해야 하는 것이다.

-지구에 부착된 기준계를 관성계로 볼 수 있는가?

다시말해 지구 지표면에서 행한 여러 실험을 이상적인 결과로 근사할 수 있는가? 정밀한 실험을 거치면 뉴턴 운동의 지배방정식에 등호를 사용할 수 없게 된다. 엄밀하게는 모든 실험에 지구의 가속도가 미친 영향을 보정해주어야 하는 것이다. 그러나 지표면 근처에서 수행된 대부분의 공학적 실험은 무시할 수 있는 오차범위 내에서 제 2법칙의 식을 사용할 수 있게 된다.  

그렇다면 지구의 가속도 운동을 무시할 수 없는 공학적 문제들은 어떤 것들이 있을까? 코리올리 가속도를 고려해야 할 만큼 충분히 높은 곳에서 떨어뜨린 물체가 가장 쉬운 예가 될 수 있다. 우리는 지구의 자전으로 인해 코리올리 가속도가 발생하고 그로인해 전향력이 발생한다는 사실을 알고 있다. 즉 높은 곳에서 떨어뜨린 물체는 정확히 같은 곳에 떨어지지 않는다. 

이와같이 어떤 물체가 지표로부터 멀리 떨어져서 운동을 하거나 혹은 그러한 운동으로 위도에 변화가 생긴다면 전향력을 무시할 수 없게 될 것이다. (물론 상당히 먼 곳에서 일어나고 있는 운동인 위성의 회전운동도 보정을 거쳐야한다. 그러나 이 경우 지표면에 비해 상대적으로 적은 중력의 영향과 위성 자체의 고속운동을 상대성 이론을 바탕으로 느리게 흘러가는 시간을 보정해 주어야 한다는 점이 다르다.)

*뉴턴 운동 제 1법칙과 제 3법칙간의 관련성과 제 2, 3 법칙간의 독립성.

 우리는 이제 제 3법칙 또한 관성계에서 관찰한 질점을 대상으로 성립한다는 사실을 알고있다. 그러나 뉴턴 운동 제 1, 2, 3 법칙 가운데 2법칙과 3법칙은 서로 독립적인 관계에 있다. 따라서 이를 '뉴턴 운동 제 2, 3 법칙만 서로 독립적이다.' 라고 표현하면 가장 깔끔할 것이다.

-참고문헌

[1] 위키피디아

[2] McGraw-Hill 정역학

[3] 시그마프레스 동역학