경사면에서, 자동차와 원통의 경주.

<자동차와, 같은 무게의 원통이 경사면에서 굴러가기 시작할 때 둘 중 누가 먼저 도착할까?>

*초기 조건: 자동차의 무게가 4p라 가정하면 각 바퀴에 실리는 무게는 p로 생각할 수 있다. 자동차 바퀴의 반지름은 r 원통의 반지름은 R로 가정한다. 바퀴와 속이 찬 원통은 서로 같은 재질로 이루어져있으며 정지마찰 계수는 0.15, 운동마찰 계수는 0.12로 가정한다.

먼저 자동차를 속이 찬 원기둥 모양 바퀴 4개로 단순화 하여 문제를 푼다.

경사각이 30도 일때 경사면에서의 힘은 마찰력을 F라 하고 a를 바퀴 질량 중심의 가속도라 하면 (g = 중력가속도, alpha = 각가속도) 

-경사면에서의 힘으로 방정식을 세웠을 때

p*g*sin(30) - F = p*a,

-질량 중심에서의 모멘트로 방정식을 세웠을 때

F*r = I_r*alpha = p*k^2*alpha 이고 

두께에 상관 없이 원기둥 형의 회전반지름 k = 반지름/2^(1/2) 이므로

I = k^2 * 질량 = 반지름^2 * 질량 / 2 이 된다.

-따라서 마찰력 F를 소거하면

 2g*sin(30) -2a = r*alpha , 이때

*바퀴가 경사면에서 미끄러지지 않는다면,

a = r * alpha 이므로 a = 2g*sin(30) /3 = 3.27 m/s^2 이 된다.

노면에서 바퀴가 미끄러지는지, 미끄러지지 않는지 확인하기 위해 마찰계수와 미끄러지지 않을 때의 가속도를 이용한다.

마찰력의 최대 값은 정지마찰 계수에 수직항력을 곱한 값이므로 F_max = p*g*cos(30)*0.15 = 0.1299 p*g 이고

처음에 등장한 식을 이용해 계산하면

F= p*g*sin(30) - p*a = 0.1677 p*g 이므로 

실제 나올 수 있는 값보다 더 높은 값이 나온다는 것을 확인할 수 있다.

따라서 바퀴는 미끄러지고 있으며 마찰력을 구하기 위해 운동마찰계수를 사용해야 한다. 수직항력 N 을 먼저 구한다.

N  - p*g*cos(30) = 0 이므로 

F = 0.12*N = 0.12*p*g*cos(30), 다시 첫번째 방정식으로 부터

p*g*sin(30) - F = p*a, 

a = (sin(30) - 0.12*cos(30))*g = 3.636 m/s^2 이 된다. 

 

이제 원통을 살펴보자.

4p*g*sin(30) - F = 4p*a,

F = 2p*R*alpha,

* 미끄러지지 않을 때

a = R*alpha 이므로 

위와 같은 결과가 나온다.

* 미끄러질 때

N  - 4p*g*cos(30) = 0 이므로 

F = 0.12*N = 0.12*4p*g*cos(30), 다시 첫번째 방정식으로 부터

4p*g*sin(30) - F = 4p*a, 

a 는 위와 같은 결과가 된다.

따라서 바퀴가 미끄러지든 미끄러지지 않든 같은 시간에 바닥면에 도달한다는 사실을 알 수 있다.

* 자동차 바퀴가 속이 비어있다면

I = p*r^2 이 되고 

p*g*sin(30) - F = p*a,

F*r = I*alpha = p*r^2*alpha,  F = p*r*alpha,

p*g*sin(30) -p*a = p*r*alpha, 

따라서 미끄러지지 않을 때

a = g*sin(30) /2 = 2.295 m/s^2 으로 원통보다 늦게 도착한다는 것을 알 수 있다.

같은 방식으로 문제의 마찰계수 조건으로 인해 미끄러짐이 발생한다는 것을 알 수 있고,

미끄러질 때는 I값과 관련없이 운동방향과 수평한 면, 수직한 면에서의 힘으로만 식이 구성되므로 위와 같은 결과가 나옴을 알 수 있다.

**즉 미끄러지지 않을 때 자동차가 더 늦게 도착하고 그 외에는 같은 속도로 도착함을 알 수 있다. (공기저항을 고려하지 않음.)