2계 미분 방정식과 진동.

<상수 계수 2계 선형 상미분 제차 방정식과 진동>

 진동은 크게 자유진동과 강제진동으로 구분할 수 있다. 뉴턴의 제 2법칙(FBD)을 통해 진동을 표현할 수 있는 간단한 근사식인 2계 상미분 방정식을 얻어낼 수 있고 계수들을 상수라고 가정하면 아래와 같은 방식(한글로 작업한 풀이법)으로 분류할 수 있게 된다. 

 자유진동은 우변이 0, 강제진동은 우변이 함수가 되며 ‘외력이 개입하는가, 개입하지 않는가.’로 구분할 수 있다. 이 게시물에서는 자유진동에 대해 살펴볼 것이다. 그리하여 특성방식이 무엇인지 & 특성방정식이 허근을 가질 때 물체가 진동하게 됨을 알게 될 것이다.

 

 

 먼저 질량이 m인 물체와 스프링, 댐퍼로 구성된 물리계에서 질량이 m인 물체를 떼어내 FBD를 그린다. (탄성계수: k, 댐핑계수: c/m) 

(FBD 그리는 법: bookthink.tistory.com/74)

스프링과 댐퍼로 이루어진 간단한 모형

 

y를 변위로 생각하였을 때 FBD

(*티스토리 수식은 작업하기가 불편한 관계로 한글로 작업하여 이미지 파일을 올립니다.)

(cy'인 이유는 문에 달린 댐퍼를 생각하면 편하다. 문을 세게 닫을 수록 순간 속도가 빨라지고 댐퍼는 더 큰 반발력으로 이를 막는다.)

(-특성방정식이 허근을 가질 때 일반해에 코사인과 사인 함수가 포함되므로 변위 y(진폭)가 위아래로 진동함을 알 수 있다.)