양력과 베르누이 방정식에 대해.

<양력과 베르누이 방정식>

 

'공기가 날개를 만나며 갈라져 날개 끝에서 다시 만나야 하므로 경로가 더 긴 날개 윗면에서 더 빠른 속도로 진행되어 날개 위가 압력이 낮다.'

 

위의 진술이 잘못된 설명이라는 것은 이제 삼척동자도 아는 사실이다.

동일 선상에 있다가 갈라진 공기 입자가 날개 끝에서 만나지 않기 때문이다. 날개 위쪽의 공기 입자가 먼저 도착한다.

 

그렇다면 날개에서 발생하는 압력차를 어떻게 설명할 수 있을까?

 

양력의 발생과정은 뉴턴 운동법칙으로 설명할 수 있다.

작용 반작용의 법칙으로 설명할 수 있는 '받음각(영각)-비행기 날개가 공기를 받아낼 때의 각도.'과 와류의 중심으로부터 비롯한 유체의 구심 가속도를 이용한 아래 공식(압력차에 관한 식)으로 말이다. 

(이 게시글은 아래 주소의 나무 위키와 위키백과에 기록되어 있는 글을 좀 더 이해하기 쉽게하기 위한 목적으로 적게 되었다.)

$$\frac{\rho*v^2}{r}=-dp/dh

위 공식에 대한 위키백과 내용.

These pressure differences arise in conjunction with the curved air flow. Whenever a fluid follows a curved path, there is a pressure gradient perpendicular to the flow direction with higher pressure on the outside of the curve and lower pressure on the inside.^[36] This direct relationship between curved streamlines and pressure differences was derived from Newton's second law by Leonhard Euler in 1754:

해석- 이러한 압력차는 곡선형으로 진행하는 공기와 관련하여 발생한다. 유체가 곡선 경로를 따라 흐를 때

유체가 흐르는 방향에 수직하여 커브의 바깥쪽에 높은 압력, 안쪽에 낮은 압력으로 압력구배가 발생한다.

이러한 관계는 뉴턴 제 2법칙으로 부터 비롯되었으며 오일러가 도출하였다.

(R=곡률의 반지름, v=접선 속도. 공식 도출과정 및 아래 내용들에 대한 자세한 설명 

https://namu.wiki/w/%EC%96%91%EB%A0%A5#fn-1 

https://en.wikipedia.org/wiki/Lift_(force) 참조.)

나무 위키의 '2. 양력의 발생원리' 항목을 그림으로 정리해보았다.

유체가 평면을 지나다 위로 꺾일 때

유체가 평면을 지나다 아래로 꺾일 때

 

붉은 색 원은 와류 중심을 가상으로 표기한 것이다. 

위의 공식을 토대로 공기가 꺾여 흐를 때 발생하는 와류는 그 중심부가 가장 압력이 낮아진다.

첫 번째 그림에서는 와류의 중심이 날개와 멀리 떨어져 대기압과 같으므로 꺾인 곳에서 대기압보다 높은 압력이 발생하게 된다.

두 번째 그림에서는 와류의 중심이 날개가 꺾이는 지점에서 발생하여 그 지점의 압력이 낮아짐을 확인할 수 있다.

그렇다면 양력을 설명할 때 베르누이 방정식을 사용할 수는 없는 것일까? 베르누이 방정식은 하나의 유체 입자에 관한 방정식이다. 따라서 아래와 같은 방식을 사용하면 된다.

위와 같이 공기 입자 두 개가 그려진 화살표 유선을 따라 지점 (1), (2)에서 각각 지점 (3), (4) 로 가는 경우를 생각하여 보자. 

                         (=constant)

먼저 두 입자 각각에 대하여 식1.과 식2.를 얻어낼 수 있다.

(1)과 (2)에서의 높이차는 무시할 수 있을만큼 작으므로 식3.이 성립하고 이에 따라 식4.가 성립하게 된다. 

이때 (3), (4) 지점사이 높이 차(날개의 두께)를 무시하면 식5. 같은 압력과 속도에 관한 방정식을 얻을 수 있게 된다.

이를 바탕으로 다음의 사실을 확인할 수 있게 된다.

-날개 윗면에서 입자의 속도가 아랫면보다 빠르기 때문에 압력이 더 낮다. 

or

-날개 윗면에서의 압력이 더 낮기 때문에 윗면의 입자가 더 빨리 날개 끝에 도달하게 된다.